Tikimybių teorija ir matematinė statistika (konspektas)

Tikimybių teorija ir matematinė statistika.
Prioritetiniai klausimai
Konspektas

1. Aksiominis tikimybes apibrėžimas.

Apibrėžimas: Tikimybe vadiname neneigiamą, normuotą ir adityvią skaitinę funkciją P:
* P(A) >= 0.
* P(Ω) = 1.
* P(� ∪ �) = P(A) + P(B), kai A ∩ B <= Ø.
2. Paprasčiausios tikimybės savybės: 1) �(�) = 1 − �(�), ∀ � ∈ � ; 2) Jei � ⊂ �, tai �(�\�) = �(�) − �(�), ∀ �, � ∈ � ; 3) (Įvykių sąjungos tikimybės formulė) P(� ∪ �) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), ∀ �, � ∈ � ; 4) P(A I B) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A | B).
1) ?
2) ?
3) Dviejų įvykių sąjungos tikimybė yra lygi tų įvykių tikimybių sumos bei įvykių sankirtos tikimybės skirtumui.
4) Dviejų įvykių sankirtos tikimybė lygi vieno įvykio tikimybei padaugintai iš kito įvykio sąlyginės tikimybės.
3. Sąlyginė tikimybė (apibrėžimas) ir �(�|�) = �(�∩�)/ �(�) . Įvykiu sankirtos tikimybės teoremų formuluotės, kai n =2 ir bendru atveju. ( �(� ∩ �) = �(�) ∙ �(�|�) , �(�1 ∩ �2 ∩ ⋯ ∩ �� ) = �(�1 ) ∙ �(�2|�1 ) ∙ �(�3|�1 ∩ �2 ) ∙ ⋯ ∙ �(��|�1 ∩ �2 ∩ ⋯ ∩ ��−1 ) ).
Įvykio A sąlyginė tikimybė, kai įvykęs įvykis B, vadiname įvykių A ir B sankirtos tikimybės ir įvykio B tikimybės santykį.
4. Pilnoji įvykių grupė (apibrėžimas). Pilnosios tikimybės ir Bejeso formulių formuluotės.
Pilnoji įvykių grupė (apibrėžimas) : Įvykiai, H1, H2, ...., Hn sudaro pilnąją įvykių grupę, jei jie kas du nesutaikomi, o jų sąjunga yra būtinas įvykis : H1 U H2 U....U Hn = Ω ir Hk ∩ Hm = ∅ su visais k ≠ m.
Pilnosios tikimybės formulių formuluotė: �(�) = ∑ �(�� ) ∙ �(�|�� ) � �=1
Bejeso formulių formuluotės:
�(�� |�) = �(��∩�) �(�) = �(�� )∙�(�|�� ) ∑ �(�� )∙�(�|�� ) � �=1 )

5. Nepriklausomi, poromis nepriklausomi, visumoje nepriklausomi įvykiai (apibrėžimai). Bernulio eksperimentai (apibrėžimas).Bernulio formulė (formuluotė).

Įvykius A ir B vadiname nepriklausomaisiais, kai jų sankirtos tikimybė lygi tikimybių sandaugai.
Bernulio eksperimentai (apibrėžimas):
Nepriklausomieji bandymai, kurių kiekvieno metu gali įvykti tik įvykis A arba jam priešingas įvykis A‘, su nekintančiomis visuose bandymuose tikimybėmis, vadinami Bernulio bandymais.
Bernulio formulė (formuluotė): P(A)=p ir P(A) =1 − p .

6. Skirstinio (pasiskirstymo) funkcija , jos apibrėžimas ir savybės. Tolydaus atsitiktinio dydžio apibrėžimas ir jo savybės. Absoliučiai tolydaus atsitiktinio dydžio apibrėžimas, tankio funkcija ir jos savybės.
Atsitiktinio dydžio X skirstinio funkcija Fx vadiname įvykio { ω:X(ω) ≤x) tikimybę:
Fx(x)=P(ω:X(ω)≤x), x∈R.
Atsitiktinis dydis vadinamas tolydžiuoju (absoliučiai tolydžiuoju), jeigu egzistuoja tokia funkcija p(x), su kuria : F(x) = , kai x ∈ R.
?

7. Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos: vidurkis, dispersija, p – lygio kvantilis, jų apibrėžimai ir savybės.
VIDURKIS : Atsitiktinio dydžio X vidurkiu vadiname skaičių:
MX = ,
Kai X – diskretusis atsitiktinis dydis:
MX=
Atsitiktinio dydžio X vidurkis MX yra skaičius, apie kurį yra susitelkusios atsitiktinio dydžio įgyjamos reikšmės.

p-lygio kvantilis: Tarkime, kad 0 Jei X yra tolydusis atsitiktinis dydis su tanku p(x), tai kvantilis xp yra lygties
F(xp) = sprendinys.
Kvantilis visada egzistuoja, tačiau ne visada vienareikšmiš...